授業内容

行列の掛け算

行列の掛け算を行うために、さらに、ちょっとだけ知識を追加しましょう。

ゼロ行列

通常の行列は、要素に数字や文字が入っています。その要素がすべて０（ゼロ）で構成された行列を、特別にゼロ行列と呼び、０（オー）で表します。

このとき、行列の型は何×何になっていようが構いません。すべての要素がゼロであればゼロ行列と呼びます。

正方行列
行の数と列の数が等しい、すなわち、ｎ×ｎ行列になっているとき、ｎ次の正方行列と呼びます。

また、正方行列の対角線上、つまり、座標に並んだ成分のことを対角成分と呼び、対角成分以外の要素がすべてゼロになっている行列のことを、対角行列と呼びます。

単位行列
対角行列の対角要素がすべて１で構成されているものを単位行列と呼び、E　やI　で表現します。
この単位行列は、行列の世界での１にあたると考えてもらえばいいと思います。

次数を明確にしたい場合、特に、と表現することがあります。

転置行列
行列Ａの行と列を入れ替えたものを、行列Ａの転置行列と言い、で表します。すると、行列Ａがｎ×ｍ行列だった場合、行列はｍ×ｎ行列になります。

行列の掛け算
行列の掛け算はちょっと特殊になります。まず、Ａ×Gという計算を行いたいとき、行列Ａの列と行列Gの行の数が一致していなければいけません。
、
例えば、Gが上のような３×４行列であれば、掛け算が可能になります。
注意しなければならないのは、行列の掛け算の場合通常の数字（スカラー）のような交換則が成り立たない点です。つまり、掛け算を行う場合、行列Ａに対し行列Ｇを右から掛けるのか、左から掛けるのかが重要の意味を持ってくるのです。
（例外あり）
また、その場合次のような手順で計算を実行します。


つまり、２×３行列に右から３×４行列を掛けると、２×４行列が出来上がります。
下線の部分が一致していることが重要です。その意味で、３×４行列に、右から２×３行列を掛けることはできません。また、ｎ次の正方行列Ｆ，Ｆ’がある場合、Ｆ×Ｆ’とＦ’×Ｆの両方が定義できますが、解が一致する保証はありません。

【新規プログラム１先頭】
proc iml;
reset print;
A = {1 2 3,4 5 6};
G = {7 8,9 0,1 2};
AG = A * G;
GA = G * A;
quit;

【新規プログラム１末尾】
成り立たないはずの交換則の例外が、正方行列と単位行列の掛け算です。
、
すると、

どちらも同じ結果が得られます。
もう一つの例外が次の「逆行列」の概念です。

ｎ次の正方行列Jに対して、

を満たすｎ次正方行列Ｋが存在するとき、ＪとＫは可換であると言います。またその際、次の関係が成り立つとき、ＫをＪの逆行列と言い（Ｊのインバース）で表します。

ただし、Ｅはｎ次の単位行列です。

行列の割り算
行列には、割り算という概念はありません。そこで、上で使った逆行列による掛け算によって、割り算にあたる操作を行います。

この関係から、Ｌを取り出すためには次のような処理を行います。両辺の右から（結構重要）Ｍの逆行列を掛けると、



として、Ｌを取り出すことができます。（Ｍを取り出す場合には、Ｌの逆行列を両辺の左から掛けます）
逆行列は次のようにして表します。

【新規プログラム２先頭】
proc iml;
reset print;
L = {2 -1, -1 2};
M = {1 1, 1 -1};
invL = inv(L);*invは先のインバースの意味;
E = L * invL;
quit;

【新規プログラム２末尾】

上のプログラムのLとMはともに逆行列を持つが、そのとき以下の等式が成り立つのを確かめなさい。

LとMの位置に注意すること。